跳房子

单调队列 dp 二分查找 T4 P3957 [NOIP2017 普及组] 跳房子 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 $n$ 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个 格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 R 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 $d$。小 R 希望改进他的机器人，如果他花 $g$ 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 $g$，但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为 $1$。具体而言，当 $g<d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $d-g,d-g+1,d-g+2,\dots ,d+g-1,d+g$；否则当 $g\ge d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $1,2,3,\dots ,d+g-1,d+g$。

现在小 R 希望获得至少 $k$ 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入格式

第一行三个正整数 $n,d,k$ ，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数 之间用一个空格隔开。

接下来 $n$ 行，每行两个整数 $x_i,s_i$ ，分别表示起点到第 $i$ 个格子的距离以及第 $i$ 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 $x_i$ 按递增顺序输入。

输出格式

共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 $k$ 分，输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

7 4 20
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

样例输出 #2

-1

提示

输入输出样例 1 说明

花费 $2$ 个金币改进后，小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 $2,3,5,3,4,3$，先后到达的位置分别为 $2,5,10,13,17,20$，对应$1,2,3,5,6,7$ 这 $6$ 个格子。这些格子中的数字之和 $15$ 即为小 R 获得的分数。

输入输出样例 2 说明

由于样例中 $7$ 个格子组合的最大可能数字之和只有 $18$，所以无论如何都无法获得 $20$ 分。

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据，每组数据等分。

对于全部的数据满足$1\le n\le 5\times 10^5$，$1\le d\le 2\times 10^3$，$1\le x_i,k\le 10^9$，$|s_i|<10^5$。

对于第 $1,2$ 组测试数据，保证 $n\le 10$。

对于第 $3,4,5$ 组测试数据，保证 $n\le 500$。

对于第 $6,7,8$ 组测试数据，保证 $d=1$。

思路

参考博客：题解 P3957 【跳房子】 - JLQ’s Blog - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

给一些系列数, 求是否有一种选择方案, 至少获得 $k$ 分。

定义 $f_i$ 为以 $i$ 结尾的所有跳跃路线获得的分数中最大值。

加上范围后, $f(i)$ 可以从区间 $[i-(g+d),i-(d-g)]$ 中转移过来。 且当 $g$ 金币数越大, 能跳的灵活度越高, 最后得到的分数不可能比之前更低, 故这里可以先二分 得到 $g$ 值。

接着直接两层循环枚举求解就行。时间复杂度 $O(n^2\log n)$。

但显然该题有 $n<1e5$ 是没法过去的。

尝试优化第二层循环, 我们是在区间 $[i-(g+d),i-(d-g)]$ 中找一个最大的 $f(j)$ 来进行转移。且随着 $i$ 的增加, 该区间也会整体右移, 也就是说, 可以用单调队列来滑动求区间最值。

建立单调队列 $q$，执行以下步骤：

1. 对于每个阶段 $i$（此题中每个状态的转移直接对应一个阶段），将决策候选集合中的元素 $j$ 从队尾插入单调队列。此题中是区间最大值，所以队首应为未过时的所有决策中最大值。内部决策单调递减；
2. 检查队首，排除过时决策；
3. 直接取队首作为当前状态的最优决策，实行转移；
4. 转移过后，判断分数是否已经大于 $k$，如果是，返回判定成功。

所有 $j$ 的取值最多进队和出队一次，因此单次判定在线性复杂度实现。

最终时间复杂度为 $O(n\log n)$ 完美AC。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
const int N = 5e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
LL x[N], s[N];
LL q[N], hh, tt;
LL f[N];
LL n, d, k;
 
bool check(LL mid)
{
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    LL lmin = max(d - mid, 1LL), rmax = d + mid;
    hh = 0, tt = -1;
    int j = 0;
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (x[i] - x[j] >= lmin && j < i)
        {
            if (f[j] > -INF)
            {
                while (hh <= tt && f[q[tt]] <= f[j])
                    tt--;
                q[++tt] = j;
            }
            j++;
        }
 
        while (hh <= tt && x[i] - x[q[hh]] > rmax)
            hh++;
 
        if (hh <= tt)
            f[i] = f[q[hh]] + s[i];
        if (f[i] >= k)
            return true;
    }
    return false;
}
 
void solve()
{
 
    cin >> n >> d >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> x[i] >> s[i];
    
    LL l = -1, r = N;
    while (l != r - 1)
    {
        LL mid = l + r >> 1;
        if (check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    if (r == N)
        cout << "-1" << endl;
    else
        cout << r << endl;
}
 
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    solve();
    return 0;
}